Розрахункова робота Різницеві лінійні рівняння При використанні ПЕОМ усі неперервні за часом процеси дискретизуються. Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема, економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць, рік і т. п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь. Наведемо основні положення про лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Оператор зсуву Введемо символічний оператор S, дія якого на функцію у(х) полягає в збільшенні значення аргументу на сталу величину h(h > 0):
. (8.67) Оператор S називається оператором зсуву. У загальному випадку рівність
. (8.68) Приклад. Справджуються такі рівності:
,
,
,
. Застосуємо символічний оператор диференціювання D,
. При цьому маємо рівність
,
,
,
. Припустимо, що функції у(х), що зустрічаються в таких обчисленнях, можна подати рядами Тейлора. При цьому правильна рівність


яку можна записати у вигляді символічної формули:
(8.69) У подальшому проводимо дискредитацію аргументу х, беручи
,

(8.70) Із попередніх формул (8.67) — (8.70) дістаємо рівність
,

На практиці користуємось функціями від оператора зсуву
,
, (8.71) які називаються операторами спадної і зростаючої різниць. Маємо рівності
,
. Із формули
, (8.72) використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо формулу для операторів (k, що називаються спадними різницями порядку k
Аналогічні формули можна дістати для додатних степенів оператора зсуву S через степені оператора (.
(8.73) Звідси знаходимо формули:
Зауважимо, що різниці k-го порядку від многочлена k-го порядку є сталими. Приклад. Складемо таблицю різниць для функції
при x0 = 0, h =1 (табл. 8.2): Таблиця 8.2 xn yn (yn (2yn (3yn  0 1 2 3 4 5 6 –1 –1 1 5 11 19 29  0 2 4 6 8 10  2 2 2 2 2  0 0 0 0   Аналогічно знаходять зростаючі різниці функції у(х). Інтерполювання функцій,що задаються таблично Якщо відоме значення функції у = у(х) для рівновіддалених значень аргументу, то для обчислення значень функції для проміжних значень аргументу використовуються інтерполяційні формули. З формули (8.68) знаходимо рівність
. Використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо інтерполяційну формулу Грегорі—Ньютона:
. (8.74) Приклад. Із таблиці 8.2 знайдемо значення функції у(х) при х = 3.5. ( При xn = 3 знаходимо значення функції і її спадних різниць у(3) = 5, (у(3) = 6, (2у(3) = 2, (3у(3) = 0. З формули (8.74) при t = 0,5, h = 1 дістаємо:
. Аналогічно можна використати іншу формулу Грегорі—Ньютона
(8.75) Використовуючи дискретні значення
, можна знайти похідну функції у(х). З формули (8.69) знайдемо оператор диференціювання:
. (8.76) З цієї формули знаходимо формулу чисельного диференціювання:
. (8.77) Приклад. Використовуючи таблицю 8.2, знайдемо значення у((4). ( Маємо
. З формули (8.77) знайдемо значення похідної
Підносячи рівність (8.76) у квадрат, дістаємо формулу для знаходження похідної другого порядку:
. Підсумовування функцій Наведемо відомий спосіб для обчислення суми виду
. (8.78) Введемо функцію (F)x, яка задовольняє різницеве рівняння
,
. (8.79) Підставляючи значення
і підсумовуючи рівняння, дістаємо рівність
. (8.80) Із рівняння (8.79) знайдемо оператор
, обернений до оператора різниці
. Оператор
називається оператором підсумовування і позначається символом (. З формули (8.70), (8.71) знайдемо вираз для
:
Звідси знаходимо розв’язок різницевого рівняння (8.79) у вигляді розкладу:
(8.81) Приклад. Знайдемо розв’язок різницевого рівняння
. ( З формули (8.81) при h = 1 дістаємо вираз
. Знайдемо вираз для суми
. З формули (8.81) знайдемо формулу Ейлера для виразу суми через визначений інтеграл:
(8.82) Формула Ейлера пов’язує суму з визначеним інтегралом. На основі цієї формули можна вивести формули для знаходження визначених інтегралів:
(8.83) Наведемо також формулу чисельного і...